 |
MechMath
Механика и прикладная математика
|
Если Вы обнаружили
опечатку или неточность
на странице сайта,
выделите её и нажмите
Ctrl+Enter
Учебно-образовательная физико-математическая библиотека
Книга
Полянин А.Д., Журов А.И. Методы разделения переменных и точные решения нелинейных уравнений математической физики. М.: ИПМех РАН, 2020. (ISBN 9785917412580)
Скачать: pdf (4.84 M)
| Автор(ы): | Полянин А.Д., Журов А.И. |
| Название: | Методы разделения переменных и точные решения нелинейных уравнений математической физики |
| Издательство: | М.: ИПМех РАН |
| Год: | 2020 |
| ISBN: | 9785917412580 |
| Аннотация: | Книга посвящена описанию и применению методов обобщенного и функционального разделения переменных, используемых для поиска точных решений нелинейных уравнений с частными производными. Достаточно подробно рассматривается также прямой метод построения редукций (во многом родственный методам функционального разделения переменных) и его более общая версия, основанная на принципе расщепления. Кроме того, дано описание метода дифференциальных связей, который обобщает многие другие точные методы. Изложение сопровождается многочисленными примерами использования методов для поиска точных решений конкретных нелинейных уравнений математической физики. Исследуются уравнения тепло- и массопереноса, теории волн, гидродинамики, нелинейной оптики, теории горения, химической технологии, биологии и др. Особое внимание уделено нелинейным уравнения достаточно общего вида, которые зависят от одной или нескольких произвольных функций. Такие уравнения наиболее сложны для анализа, а их точные решения представляют больший практический интерес и могут применяться для оценки точности численных методов решения соответствующих начально-краевых задач. Книга содержит много нового материала, который ранее в монографиях не публиковался. Для широкого круга научных работников, преподавателей вузов, инженеров, аспирантов и студентов, специализирующихся в области прикладной и вычислительной математики, теоретической физики, механики, теории управления и химической технологии. Отдельные разделы книги и примеры могут быть использованы в курсах лекций по уравнениям математической физики, методам математической физики и уравнениям с частными производными, для чтения спецкурсов и для проведения практических занятий. |
| Оглавление: | Оглавление.....3 Предисловие.....7 Некоторые обозначения и замечания.....11 1. Методы обобщенного разделения переменных.....13 1.1. Решения с простым разделением переменных.....13 1.1.1. Решения с мультипликативным и аддитивным разделением переменных.....13 1.1.2. Простейшие случаи разделения переменных в нелинейных уравнениях с частными производными.....15 1.1.3. Примеры нетривиального разделения переменных в нелинейных уравнениях.....22 1.2. Структура решений с обобщенным разделением переменных.....25 1.2.1. Общий вид решений. Рассматриваемые классы нелинейных дифференциальных уравнений.....25 1.2.2. Функционально-дифференциальные уравнения, возникающие при обобщенном разделении переменных.....27 1.3. Упрощенный метод построения решений с обобщенным разделением переменных.....28 1.3.1. Упрощенный метод, основанный на априорном задании одной системы координатных функций. Описание.....28 1.3.2. Примеры построения точных решений нелинейных уравнений с двумя независимыми переменными.....28 1.3.3. Уравнения с тремя и более независимыми переменными. Точные решения уравнений Навье–Стокса.....40 1.4. Решение функционально-дифференциальных уравнений методом дифференцирования.....47 1.4.1. Описание метода дифференцирования.....47 1.4.2. Примеры построения решений с обобщенным разделением переменных методом дифференцирования.....48 1.5. Решение функционально-дифференциальных уравнений методом расщепления.....58 1.5.1. Предварительные замечания. Описание метода. Принцип расщепления.....58 1.6. Метод инвариантных подпространств.....70 1.6.1. Подпространства, инвариантные относительно нелинейного дифференциального оператора. Описание метода.....70 1.6.2. Некоторые модификации и обобщения.....75 1.6.3. Нахождение линейных подпространств, инвариантных относительно заданного нелинейного оператора.....80 1.7. Другие нелинейные уравнения, имеющие решения с обобщенным разделением переменных.....84 1.7.1. Нелинейные уравнения в частных производных с запаздыванием.....84 1.7.2. Нелинейные интегро-дифференциальные уравнения.....93 1.7.3. Нелинейные уравнения с дробной производной.....95 1.7.4. Псевдодифференциальные уравнения.....98 2. Методы функционального разделения переменных.....103 2.1. Предварительные замечания.....103 2.1.1. Структура решений с функциональным разделением переменных.....103 2.1.2. Прямое и непрямое функциональное разделение переменных.....105 2.2. Упрощенный метод построения решений с функциональным разделением переменных.....106 2.2.1. Описание упрощенного метода, основанного на преобразованиях искомой функции.....106 2.2.2. Примеры построения точных решений нелинейных уравнений.....106 2.3. Решения с функциональным разделением переменных специального вида.....109 2.3.1. Решения типа обобщенной бегущей волны и другие решения специального вида.....109 2.3.2. Примеры построения точных решений типа обобщенной бегущей волны.....110 2.3.3. Построение других точных решений с функциональным разделением переменных специального типа.....117 2.4. Метод дифференцирования. Использование нелинейных функциональных уравнений.....122 2.4.1. Краткое описание метода дифференцирования.....122 2.4.2. Примеры построения решений с функциональным разделением переменных методом дифференцирования.....123 2.4.3. Использование нелинейных функциональных уравнений для построения точных решений.....129 2.5. Построение решений с функциональным разделением переменных в неявной форме.....137 2.5.1. Предварительные замечания. Решения типа бегущей волны в неявном виде.....137 2.5.2. Прямой метод построения решений с функциональным разделением переменных в неявном виде. Описание.....139 2.5.3. Нелинейные реакционно-диффузионные уравнения с переменными коэффициентами.....141 2.5.4. Нелинейные конвективно-диффузионные уравнения с переменными коэффициентами.....157 2.5.5. Нелинейные уравнения типа Клейна–Гордона с переменными коэффициентами.....166 2.5.6. Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными.....181 2.5.7. Нелинейные уравнения третьего и более высоких порядков.....185 2.6. Функциональное разделение переменных общего вида. Явное представление решений.....188 2.6.1. Общий вид решений с функциональным разделением переменных.....188 2.6.2. Нелинейные уравнения реакционно-диффузионного типа.....189 2.6.3. Нелинейные уравнения конвективно-диффузионного типа.....200 2.6.4. Нелинейные уравнения типа Клейна–Гордона и нелинейные телеграфные уравнения.....211 2.6.5. Нелинейные уравнения диффузионного и волнового типов в анизотропной среде.....219 2.7. Функциональное разделение переменных общего вида. Неявное представление решений.....222 2.7.1. Описание метода. Обобщенный принцип расщепления.....222 2.7.2. Использование эквивалентных уравнений. Упрощение уравнений.....224 2.7.3. Нелинейные реакционно-конвективно-диффузионные уравнения.....226 2.7.4. Обобщенные уравнения пористой среды с нелинейным источником.....251 3. Прямой метод построения редукций. Слабые симметрии.....259 3.1. Прямой метод построения редукций.....259 3.1.1. Упрощенная схема. Обобщенное уравнение Бюргерса–Кортевега–де Фриза.....259 3.1.2. Специальный вид редукций. Уравнение Буссинеска.....262 3.1.3. Общий вид редукций. Уравнение Гарри Дима.....266 3.2. Прямой метод поиска слабых симметрий.....267 3.2.1. Общее описание метода. Уравнение стационарного пограничного слоя.....267 3.2.2. Уравнение Бюргерса–Хаксли (уравнение диффузионного типа с кубической нелинейностью).....270 3.2.3. Уравнения нестационарного плоского и осесимметричного пограничного слоя.....273 3.2.4. Уравнения осесимметричного пограничного слоя на протяженном теле вращения.....284 3.2.5. Уравнения плоского и осесимметричного пограничного слоя для неньютоновских жидкостей.....294 4. Метод дифференциальных связей.....311 4.1. Метод дифференциальных связей для обыкновенных дифференциальных уравнений.....311 4.1.1. Описание метода. Дифференциальные связи первого порядка.....311 4.1.2. Дифференциальные связи произвольного порядка. Общий метод исследования на совместность двух уравнений.....317 4.1.3. Использование точечных преобразований в комбинации с дифференциальными связями.....321 4.1.4. Использование нескольких дифференциальных связей.....325 4.2. Описание метода дифференциальных связей для уравнений с частными производными.....326 4.2.1. Предварительные замечания. Простой пример.....326 4.2.2. Общее описание метода дифференциальных связей.....328 4.3. Дифференциальные связи первого порядка для уравнений с частными производными.....330 4.3.1. Эволюционные уравнения второго порядка.....330 4.3.2. Уравнения второго порядка гиперболического типа.....337 4.3.3. Уравнения второго порядка общего вида.....339 4.4. Дифференциальные связи второго и старших порядков. Некоторые обобщения.....340 4.4.1. Дифференциальные связи второго порядка.....340 4.4.2. Дифференциальные связи более высокого порядка. Определяющие уравнения.....343 4.4.3. Использование нескольких дифференциальных связей. Системы нелинейных уравнений.....345 4.5. Связь между методом дифференциальных связей и другими методами.....350 4.5.1. Предварительные замечания.....350 4.5.2. Обобщенное разделение переменных и дифференциальные связи.....352 4.5.3. Функциональное разделение переменных и дифференциальные связи.....353 4.5.4. Прямой метод построения редукций и дифференциальные связи.....359 4.5.5. Неклассический метод поиска симметрий и дифференциальные связи.....360 Список литературы.....362 |
|
Научно-образовательный сайт MechMath содержит обширную информацию по математике и механике. Адрес сайта в Интернете: http://mechmath.ipmnet.ru/ Веб-сайт MechMath разработан при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 09-01-00343). Адрес веб-сайта: 119526 Москва, пр-т Вернадского, д. 101, корп. 1, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН. © 2009–2024 А. Д. Полянин, А. И. Журов, А. Л. Левитин. |