 |
MechMath
Механика и прикладная математика
|
Если Вы обнаружили
опечатку или неточность
на странице сайта,
выделите её и нажмите
Ctrl+Enter
Учебно-образовательная физико-математическая библиотека
Библиотека > Книга
Книга
Полянин А.Д., Сорокин В.Г., Журов А.И. Дифференциальные уравнения с запаздыванием: Свойства, методы, решения и модели. М.: ИПМех РАН, 2022. (ISBN 9785917412689)
Скачать: pdf (6.15 M)
| Автор(ы): | Полянин А.Д., Сорокин В.Г., Журов А.И. |
| Название: | Дифференциальные уравнения с запаздыванием: Свойства, методы, решения и модели |
| Издательство: | М.: ИПМех РАН |
| Год: | 2022 |
| ISBN: | 9785917412689 |
| Аннотация: | Книга посвящена линейным и нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям и уравнениям в частных производных с постоянным и переменным запаздыванием. Рассмотрены качественные особенности дифференциальных уравнений с запаздыванием и сформулированы типичные постановки задач. Описаны точные, приближенные аналитические и численные методы решения таких уравнений, включая метод шагов, методы интегральных преобразований, метод регулярного разложения по малому параметру, метод сращиваемых асимптотических разложений, методы итерационного типа, метод разложения Адомиана, метод коллокаций, проекционные методы типа Галеркина, методы Эйлера и Рунге–Кутты, метод стрельбы, метод прямых, конечно-разностные методы для УрЧП, методы обобщенного и функционального разделения переменных, метод функциональных связей, метод порождающих уравнений и др. Изложение теоретического материала сопровождается примерами практического применения методов для получения искомых решений. Построены точные решения ряда нелинейных реакционно-диффузионных и волновых уравнений общего вида с запаздыванием, которые зависят от одной или нескольких произвольных функций. Дан обзор наиболее распространенных математических моделей с запаздыванием, используемых в теории популяций, биологии, медицине и других приложениях. В целом в книгу включено много нового материала, который ранее в монографиях не публиковался. Для широкого круга научных работников, преподавателей вузов, аспирантов и студентов, специализирующихся в различных областях прикладной математики, математической физики, вычислительной математики, механики, теории управления, биологии, медицины, химической технологии, экологии и экономики. Отдельные разделы книги и примеры могут быть использованы в курсах лекций по прикладной математике, математической физике и дифференциальным уравнениям, для чтения спецкурсов и для проведения практических занятий. |
| Оглавление: | Предисловие.....9 Некоторые обозначения и замечания.....12 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения с запаздыванием.....14 1.1. Уравнения первого порядка. Задача Коши. Метод шагов. Точные решения.....14 1.1.1. Предварительные замечания.....14 1.1.2. ОДУ первого порядка с постоянным запаздыванием. Задача Коши. Качественные особенности.....14 1.1.3. Точные решения линейного ОДУ первого порядка с постоянным запаздыванием. Функция Ламберта и ее свойства.....17 1.1.4. Нелинейные ОДУ первого порядка с постоянным запаздыванием, допускающие линеаризацию или точные решения.....26 1.1.5. Метод шагов. Решение задачи Коши для ОДУ первого порядка с постоянным запаздыванием.....27 1.1.6. Уравнения с переменным запаздыванием. ОДУ с пропорциональным запаздыванием.....31 1.1.7. Существование и единственность решений. Подавление сингулярностей в решениях задач с обострением.....36 1.2. ОДУ второго и старших порядков с запаздыванием. Системы ОДУ с запаздыванием.....41 1.2.1. Основные понятия. Задача Коши.....41 1.2.2. Линейные уравнения второго порядка. Задача Коши. Точные решения.....42 1.2.3. Линейные ОДУ старших порядков с запаздываниями.....47 1.2.4. Линейные системы ОДУ первого и второго порядка с запаздыванием. Задача Коши. Точные решения.....52 1.3. Устойчивость (неустойчивость) решений ОДУ с запаздываниями.....55 1.3.1. Основные понятия. Общие замечания об устойчивости решений линейных ОДУ с запаздываниями.....55 1.3.2. Устойчивость решений линейных ОДУ с одним постоянным запаздыванием.....57 1.3.3. Устойчивость решений линейных ОДУ с несколькими постоянными запаздываниями.....64 1.3.4. Анализ устойчивости решений нелинейных ОДУ с запаздываниями по первому приближению.....66 1.4. Точные и приближенные аналитические методы решения ОДУ с запаздыванием.....69 1.4.1. Использование интегральных преобразований для решения линейных задач.....69 1.4.2. Представление решений в виде степенных рядов по независимой переменной.....78 1.4.3. Метод регулярного разложения по малому параметру.....83 1.4.4. Метод сращиваемых асимптотических разложений. Сингулярно возмущенные задачи с пограничным слоем.....85 1.4.5. Метод последовательных приближений и другие методы итерационного типа.....89 1.4.6. Проекционные методы типа Галеркина. Метод коллокаций.....94 2. Линейные уравнения в частных производных с запаздыванием.....100 2.1. Свойства и качественные особенности линейных уравнений и задач с постоянным запаздыванием.....100 2.1.1. Свойства решений линейных уравнений с запаздыванием.....100 2.1.2. Общие свойства и качественные особенности задач с запаздыванием.....106 2.2. Линейные начально-краевые задачи с постоянным запаздыванием.....107 2.2.1. Первая начально-краевая задача для одномерного уравнения параболического типа с постоянным запаздыванием.....107 2.2.2. Другие задачи для одномерного уравнения параболического типа с постоянным запаздыванием.....112 2.2.3. Задачи для линейных уравнений параболического типа с несколькими переменными и постоянным запаздыванием.....118 2.2.4. Задачи для линейных уравнений гиперболического типа с постоянным запаздыванием.....123 2.2.5. Условия устойчивости и неустойчивости решений линейных начально-краевых задач.....125 2.3. Гиперболическое и дифференциально-разностное уравнения теплопроводности.....130 2.3.1. Вывод гиперболического и дифференциально-разностного уравнений теплопроводности.....130 2.3.2. Задача Стокса и начально-краевые задачи для дифференциально-разностного уравнения теплопроводности.....132 2.4. Линейные начально-краевые задачи с пропорциональным запаздыванием.....137 2.4.1. Предварительные замечания.....137 2.4.2. Первая начально-краевая задача для уравнения параболического типа с пропорциональным запаздыванием.....138 2.4.3. Другие начально-краевые задачи для уравнения параболического типа с пропорциональным запаздыванием.....140 2.4.4. Начально-краевая задача для линейного уравнения гиперболического типа с пропорциональным запаздыванием.....142 3. Методы и решения нелинейных УрЧП с запаздыванием. Часть I.....145 3.1. Некоторые замечания и определения. Точные решения типа бегущей волны.....145 3.1.1. Предварительные замечания. Терминология. Классы рассматриваемых уравнений.....145 3.1.2. Положения равновесия. Решения типа бегущей волны. Точные решения в замкнутой форме.....149 3.1.3. Решения типа фронта бегущей волны нелинейных уравнений реакционно-диффузионного типа.....153 3.2. Решения с мультипликативным и аддитивным разделением переменных.....158 3.2.1. Предварительные замечания. Терминология. Примеры....158 3.2.2. Реакционно-диффузионные уравнения с запаздыванием, допускающие точные решения с разделением переменных.....161 3.2.3. Уравнения типа Клейна—Гордона с запаздыванием, допускающие точные решения с разделением переменных.....167 3.2.4. Некоторые обобщения.....169 3.3. Решения с обобщенным и функциональным разделением переменных.....174 3.3.1. Решения с обобщенным разделением переменных.....174 3.3.2. Решения с функциональным разделением переменных.....180 3.3.3. Использование линейных преобразований для построения решений с обобщенным и функциональным разделением переменных.....183 3.4. Метод функциональных связей.....187 3.4.1. Общее описание метода функциональных связей.....187 3.4.2. Точные решения квазилинейных реакционно-диффузионных уравнений с запаздыванием.....188 3.4.3. Точные решения более сложных нелинейных реакционнодиффузионных уравнений с запаздыванием.....198 3.4.4. Точные решения нелинейных уравнений типа Клейна—Гордона с запаздыванием.....215 4. Методы и решения нелинейных УрЧП с запаздыванием. Часть II.....222 4.1. Методы построения точных решений нелинейных УрЧП с запаздыванием с помощью решений более простых УрЧП без запаздывания.....222 4.1.1. Первый метод построения точных решений УрЧП с запаздыванием. Общее описание и простые примеры.....222 4.1.2. Использование первого метода для построение точных решений нелинейных УрЧП с запаздыванием.....224 4.1.3. Второй метод построения точных решений УрЧП с запаздыванием. Общее описание и простые примеры.....228 4.1.4. Использование второго метода для построение точных решений нелинейных УрЧП с запаздыванием.....230 4.2. Системы нелинейных УрЧП с запаздыванием. Метод порождающих уравнений.....232 4.2.1. Общее описание метода и примеры его применения.....232 4.2.2. Квазилинейные системы реакционно-диффузионных уравнений с запаздыванием и их точные решения.....237 4.2.3. Нелинейные системы реакционно-диффузионных уравнений с запаздыванием и их точные решения.....239 4.2.4. Некоторые обобщения.....244 4.3. Редукции и точные решения систем типа Лотки—Вольтерры и более сложных систем УрЧП с несколькими запаздываниями.....247 4.3.1. Реакционно-диффузионные системы с несколькими запаздываниями. Система Лотки—Вольтерры.....247 4.3.2. Редукции и точные решения систем УрЧП с различными коэффициентами диффузии (случай щ = а2).....248 4.3.3. Редукции и точные решения систем УрЧП с одинаковыми коэффициентами диффузии (случай щ = а2).....255 4.3.4. Системы УрЧП с запаздываниями, однородные относительно искомых функций.....258 4.4. Нелинейные УрЧП с пропорциональными аргументами. Принцип аналогии решений.....261 4.4.1. Принцип аналогии решений.....262 4.4.2. Точные решения квазилинейных уравнений диффузионного типа с пропорциональным запаздыванием.....264 4.4.3. Точные решения более сложных нелинейных уравнений диффузионного типа с пропорциональным запаздыванием....269 4.4.4. Точные решения нелинейных уравнений волнового типа с пропорциональным запаздыванием.....275 4.5. Неустойчивые решения и некорректность по Адамару некоторых задач с запаздыванием.....281 4.5.1. Неустойчивость решений одного класса нелинейных УрЧП с постоянным запаздыванием.....281 4.5.2. Некорректность по Адамару некоторых задач с запаздыванием.....283 5. Численные решения дифференциальных уравнений с запаздыванием.....285 5.1. Численное интегрирование ОДУ с запаздыванием.....285 5.1.1. Основные понятия и определения.....285 5.1.2. Качественные особенности численного интегрирования ОДУ с запаздыванием.....287 5.1.3. Модифицированный метод шагов.....290 5.1.4. Численные методы для ОДУ с постоянным запаздыванием.....291 5.1.5. Численные методы для ОДУ с пропорциональным запаздыванием. Задача Коши.....296 5.1.6. Метод стрельбы (краевые задачи).....300 5.1.7. Использование пакета Mathematica для численного интегрирования жестких систем ОДУ с запаздыванием.....303 5.1.8. Тестовые задачи для ОДУ с запаздыванием. Сопоставление численных и точных решений.....307 5.2. Численное интегрирование УрЧП с запаздыванием.....310 5.2.1. Предварительные замечания. Метод декомпозиции области по времени.....310 5.2.2. Метод прямых (сведение УрЧП с запаздыванием к системе ОДУ с запаздыванием).....311 5.2.3. Конечно-разностные методы.....316 5.3. Построение, выбор и использование тестовых задач для УрЧП с запаздыванием.....323 5.3.1. Предварительные замечания.....323 5.3.2. Основные принципы выбора тестовых задач.....324 5.3.3. Построение тестовых задач.....325 5.3.4. Сопоставление численных и точных решений нелинейных реакционно-диффузионных уравнений с запаздыванием.....331 5.3.5. Сопоставление численных и точных решений нелинейных уравнений типа Клейна—Гордона с запаздыванием.....338 6. Модели и дифференциальные уравнения с запаздыванием 344 6.1. Модели, описываемые нелинейными ОДУ с запаздыванием.....344 6.1.1. Уравнение Хатчинсона (логистическое уравнение с запаздыванием).....344 6.1.2. Уравнение Николсона.....347 6.1.3. Модели кроветворения Мэкки—Гласса.....351 6.1.4. Другие нелинейные модели с запаздыванием.....354 6.2. Модели и УрЧП с запаздыванием в теории популяций.....358 6.2.1. Предварительные замечания.....358 6.2.2. Диффузионное логистическое уравнение с запаздыванием..360 6.2.3. Диффузионное уравнение с запаздыванием, учитывающее ограниченность питательных веществ.....361 6.2.4. Диффузионные логистические модели типа Лотки—Вольтерры с несколькими запаздываниями.....362 6.2.5. Реакционно-диффузионная модель Николсона с запаздыванием.....364 6.2.6. Модель, учитывающая влияние защитных механизмов растений на популяцию растениеядных.....365 6.3. Модели и УрЧП с запаздыванием, описывающие распространение эпидемий и развитие болезней.....366 6.3.1. Классическая модель распространения эпидемии SIR....366 6.3.2. Двухкомпонентная модель распространения эпидемии SI..369 6.3.3. Модель распространения эпидемии новой коронавирусной инфекции.....370 6.3.4. Модели протекания гепатита B.....371 6.3.5. Модели взаимодействия иммунитета и опухолевых клеток..373 6.4. Другие модели, описываемые нелинейными УрЧП с запаздыванием 375 6.4.1. Модель колебательной реакции Белоусова—Жаботинского.375 6.4.2. Модели кроветворения типа Мэкки—Гласса.....376 6.4.3. Модель термической обработки металлических листов....377 6.4.4. Модель пищевой цепи.....378 6.4.5. Модели искусственной нейронной сети.....379 Приложение. Справочные таблицы по точным решениям УрЧП с запаздыванием.....381 П.1. Линейные уравнения.....381 П.1.1. Уравнения с постоянным запаздыванием.....381 П.1.2. Уравнения типа пантографа.....381 П.2. Нелинейные уравнения с постоянным запаздыванием.....382 П.2.1. Уравнения параболического типа.....382 П.2.2. Уравнения гиперболического типа.....396 П.3. Нелинейные уравнения с пропорциональными аргументами.....404 П.3.1. Уравнения параболического типа.....404 П.3.2. Уравнения гиперболического типа.....411 П.4. Функционально-дифференциальные УрЧП с аргументами произвольного вида.....416 П.4.1. Уравнения параболического типа.....416 П.4.2. Уравнения гиперболического типа.....426 Список литературы.....432 |
|
Научно-образовательный сайт MechMath содержит обширную информацию по математике и механике. Адрес сайта в Интернете: http://mechmath.ipmnet.ru/ Веб-сайт MechMath разработан при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 09-01-00343). Адрес веб-сайта: 119526 Москва, пр-т Вернадского, д. 101, корп. 1, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН. © 2009–2024 А. Д. Полянин, А. И. Журов, А. Л. Левитин. |